Question

11．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，AH是△ABC的高，AH=4 cm，BC=8 cm，直線CM⊥BC，動點D從點C開始沿射線CB方向以每秒3厘米的速度運動，動點E也同時從點C開始在直線CM上以每秒1厘米的速度向遠離C點的方向運動，連接AD、AE，設運動時間為t（t＞0）秒．
（1）請直接寫出CD、CE的長度（用含有t的代數(shù)式表示）：CD=3tcm，CE=tcm；
（2）當t為多少時，△ABD的面積為12 cm²？
（3）請利用備用圖探究，當t為多少時，△ABD≌△ACE？并簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程=速度×時間，即可得出結果；
（2）首先求出△ABD中BD邊上的高，然后根據(jù)面積公式列出方程，求出BD的值，分兩種情況分別求出t的值即可；
（3）假設△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得出BD=CE，分別用含t的代數(shù)式表示CE和BD，得到關于t的方程，從而求出t的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：CD=3tcm，CE=tcm；
故答案為：3t，t；
（2）∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AH=12，AH=4，
∴AH×BD=24，
∴BD=6．
若D在B點右側，則CD=BC-BD=2，t=$\frac{2}{3}$；
若D在B點左側，則CD=BC+BD=14，t=$\frac{14}{3}$；
綜上所述：當t為$\frac{2}{3}$s或$\frac{14}{3}$s時，△ABD的面積為12 cm²；
（3）動點E從點C沿射線CM方向運動2秒或當動點E從點C沿射線CM的反向延長線方向運動4秒時，△ABD≌△ACE．
理由如下：如圖所示
①當E在射線CM上時，D必在CB上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-3t
∴t=8-3t，
∴t=2，
∵在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠B=∠ACE=45°}&{\;}\\{BD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②當E在CM的反向延長線上時，D必在CB延長線上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=3t-8，
∴t=3t-8，
∴t=4，
∵在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠ABD=∠ACE=135°}&{\;}\\{BD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質及面積的計算；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握等腰直角三角形的性質，注意分類討論．