Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ACB=45°，點E在對角線AC上，BE=BA，BF⊥AC于點F，BF的延長線交AD于點G．點H在BC的延長線上，且CH=AG，連接EH．

（1）若BC=12，AB=13，求AF的長；

（2）求證：EB=EH．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）證明見解析.

【解析】

（1）依據(jù)BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12，可得等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，再根據(jù)勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF==5；

（2）連接GE，過A作AF⊥AG，交BG于P，連接PE，判定四邊形APEG是正方形，即可得到PF=EF，AP=AG=CH，進而得出△APB≌△HCE，依據(jù)AB=EH，AB=BE，即可得到BE=EH．

解：（1）如圖，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12，

∴等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，

又∵AB=13，

∴Rt△ABF中，AF==5；

（2）如圖，連接GE，過A作AF⊥AG，交BG于P，連接PE，

∵BE=BA，BF⊥AC，

∴AF=FE，

∴BG是AE的垂直平分線，

∴AG=EG，AP=EP，

∵∠GAE=∠ACB=45°，

∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°，

△APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，

∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°，

又∵AG=EG，

∴四邊形APEG是正方形，

∴PF=EF，AP=AG=CH，

又∵BF=CF，

∴BP=CE，

∵∠APG=45°=∠BCF，

∴∠APB=∠HCE=135°，

∴△APB≌△HCE（SAS），

∴AB=EH，

又∵AB=BE，

∴BE=EH．