Question

【題目】如圖，直線y＝－x+4與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是點(diǎn)B以Q為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ，設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤2）．

（1）直接寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥OB？

（3）四邊形PQBO面積能否是△ABO面積的；若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△APE為直角三角形？（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，4）；（2）t＝；（3）不能，見(jiàn)解析；（4）當(dāng)t為時(shí)，△APQ為直角三角形．

【解析】

（1）分別令y＝0，x＝0求解即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）利用平行線分線段成比例定理列式計(jì)算即可得解．

（3）作QH⊥OA于H，先證明△QAH∽△BAO，利用相似比可得到QH＝4﹣t，再利用四邊形PQBO面積是△ABO面積的得到S△APQ＝S△AOB，利用三角形面積公式得到2t（4﹣t）＝×，然后解關(guān)于t的方程即可．

（4）分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°兩種情況，利用∠OAB的余弦列式計(jì)算即可得解．

解：（1）令y＝0，則﹣x+4＝0，

解得x＝4，

x＝0時(shí)，y＝4，

∴OA＝4，OB＝4，

∴點(diǎn)A（4，0），B（0，4）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝＝＝4，

∵點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，

∴AP＝2t，AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，

若PQ∥OB，則∠APQ＝∠AOB＝90°，則

∴，

解得t＝；

（3）如圖，作QH⊥OA于H，

∴QH∥OB，

∴△QAH∽△BAO，

∴，即，

∴QH＝4﹣t，

當(dāng)四邊形PQBO面積是△ABO面積的時(shí)，S△APQ＝S△AOB，

∴2t（4﹣t）＝×，

整理得t2﹣4t+4＝0，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

∴四邊形PQBO面積不能是△ABO面積的．

（4）若∠APQ＝90°，由（2）可知t＝；

若∠AQP＝90°，則cos∠OAB＝，

∴＝，

解得t＝8﹣4，

∵0＜t≤2，

∴t的值為，

∴當(dāng)t為時(shí)，△APQ為直角三角形．