Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B，其對稱軸是x=-1，點C是y軸上一點，其縱坐標為m，連結(jié)AC，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，以AC、AD為邊作正方形ACED．

（1）用含m的代數(shù)式表示點D的橫坐標為 ．

（2）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式．

（3）當點E落在拋物線y=ax2+bx+2上時，求此時m的值．

（4）令拋物線與x軸另一交點為點F，連結(jié)BF，直接寫出正方形ACED的一邊與BF平行時的m的值．

Answer 1

【答案】（1）m+1；（2）y=-x2-x+2；（3）或；（4）或-．

【解析】

試題分析：（1）作DH⊥x軸于H，如圖1，先利用等角的余角相等得到∠ACO=∠DAH，則可根據(jù)“AAS”證明△ACO≌△DAH，所以AH=OC=m，易得點D的橫坐標為m+1；

（2）利用對稱軸方程和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征列方程組，解方程組求出a和b即可得到拋物線的解析式；

（3）作EG⊥y軸于G，如圖1，通過與（1）方法一樣證明△ACO≌△CEG得到GE=OC=m，CG=OA=1，則E點坐標為（m，m+1），然后把E點坐標代入（2）中解析式得到關(guān)于m的方程，再解方程即可得到m的值；

（4）先通過解方程-x2-x+2=0得F（-3，0），計算當x=0時的函數(shù)值得到B（0，2），討論：當點C在y軸的正半軸上，即m＞0時，如圖1，證明△ADH∽△FBO，利用相似比可得到m的值；當點C在y軸的負半軸上，即m＜0時，如圖2，證明△AOC∽△FOB，利用相似比可計算出m．

試題解析：（1）作DH⊥x軸于H，如圖1，

∵四邊形ADEC為正方形，

∴AC=AD，∠CAD=90°，

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠DAH=90°，

∴∠ACO=∠DAH，

在△ACO和△DAH中，

，

∴△ACO≌△DAH，

∴AH=OC=m，

∴OH=OA+AH=m+1，

∴點D的橫坐標為m+1；

（2）根據(jù)題意得，解得，

故拋物線的解析式為y=-x2-x+2；

（3）作EG⊥y軸于G，如圖1，

與（1）方法一樣可證明得△ACO≌△CEG，則GE=OC=m，CG=OA=1，

∴E點坐標為（m，m+1），

把E（m，m+1）代入y=-x2-x+2得-m2-m+2=m+1，

整理得2m2+7m-3=0，解得m1=，m2=，

即m的值為或；

（4）當y=0時，-x2-x+2=0，解得x1=-3，x2=1，則F（-3，0），

當x=0時，y=-x2-x+2=2，則B（0，2），

當點C在y軸的正半軸上，即m＞0時，如圖1，

∵AD∥BF，

∴∠DAH=∠BFO，

∴△ADH∽△FBO，

∴AH：OF=DH：OB，即m：3=1：2，解得m=；

當點C在y軸的負半軸上，即m＜0時，如圖2，

∵AC∥BF，

∴∠ACO=∠OBF，

∴△AOC∽△FOB，

∴AO：OF=OC：OB，1，即1：3=-m：2，解得m=-，

即m的值為或-．