Question

如圖①，在平面直角坐標系中，點A是拋物線y=x²在第一象限上的一個點，連結OA，過點A作AB⊥OA，交y軸于點B，設點A的橫坐標為n．

【探究】：
（1）當n=1時，點B的縱坐標是　　；
（2）當n=2時，點B的縱坐標是　　；
（3）點B的縱坐標是　　（用含n的代數(shù)式表示）．
【應用】：
如圖②，將△OAB繞著斜邊OB的中點順時針旋轉180°，得到△BCO．
（1）求點C的坐標（用含n的代數(shù)式表示）；
（2）當點A在拋物線上運動時，點C也隨之運動．當1≤n≤5時，線段OC掃過的圖形的面積是　　．

Answer 1

探究：(1)2,(2)5,(3) n²+1 應用:(1)（﹣n，1）,(2)2.

解析試題分析：探究；依據(jù)直角三角形的射影定理即可求得B點的坐標．
應用：（1）依據(jù)全等三角形的性質即可求得C點的坐標，（2）通過（1）可求得C1、C2的坐標，從而得出矩形面積和三角形的面積，最后求得當1≤n≤5時，線段OC掃過的圖形的面積．

試題解析：
探究（3）如圖1所示：設點A的橫坐標為n，點A是拋物線y=x2在第一象限上的一個點；
∴A（n，n²）；
∴AD=n，OD=n²；
在Rt△ACB中，AD²=OD•BD；
設B點的縱坐標為y₁，則n²=n²•（y₁﹣n²），
解得：y₁=n²+1，
∴點B的縱坐標是 n²+1．

應用：（1）點B的縱坐標是 n²+1，A點的縱坐標是n²，
∴BD=1，
根據(jù)旋轉的定義可知CE=AD=n，OE=BD=1；
∴C點的坐標為：（﹣n，1）；
（2）當n=1時C點的坐標為C₁（﹣1，1），當n=5時C點的坐標為C₂（﹣5，1），如上圖所示；
S=S﹣S=×1×5﹣×1×1=2．
∴當1≤n≤5時，線段OC掃過的圖形的面積是2．
考點：二次函數(shù)綜合題