Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=-x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，線段AB的中點為D（3，2）．將△AOB沿直線CD折疊，使點A與點B重合，直線CD與x軸交于點C．

（1）求此一次函數(shù)的解析式；

（2）求點C的坐標(biāo)；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點P（除點C外），使得以A、D、P為頂點的三角形與△ACD全等，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）一次函數(shù)解析式為y=-x+4.（2）C（，0）；（3）P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得B點，A點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）OC=x，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用x表示出BC的長，再根據(jù)勾股定理求解即可；

（3）當(dāng)△ACD≌△AP1D時，根據(jù)C、P點關(guān)于D點對稱，可得P點坐標(biāo)，當(dāng)△ACD≌△DP2A時，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；當(dāng)△ACD≌△DP3A時，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得答案．

試題解析：（1）設(shè)A點坐標(biāo)為（a，0），B點坐標(biāo)為（0，b），

由線段AB的中點為D（3，2），得

=3，=2，

解得a=6，b=4．

即A（6，0），B（0，4）

故一次函數(shù)解析式為y=-x+4.

（2）如圖1：

連接BC，設(shè)OC=x，則AC=CB=6-x，

∵∠BOA=90°，

∴OB2+OC2=CB2，

42+x2=（6-x）2，

解得x=，

即C（，0）；

（3）①當(dāng)△ACD≌△APD時，設(shè)P1（c，d），

由D是PC的中點，得

，=2，

解得c=，d=4，

即P1（，4）；

如圖2：

，

②當(dāng)△ACD≌△DP2A時，

做DE⊥AC與E，P2F⊥AC與F點，DE=2，CE=，

由△CDE≌△AP2F，

AF=CE=，P2F=DE=2，

OF=6-=，

∴P2（，-2）；

③當(dāng)△ACD≌△DP3A時，設(shè)P3（e，f）

A是線段P2P3的中點，得

，，

解得e=，f=2，

即P3（，2），

綜上所述：P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．