Question

2．三角形三條邊a，b，c同時(shí)滿足a²+2b-12c+15=0，①a+2b-6c+9=0，②若最大邊a是整數(shù)，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 由①②消去b得$\frac{1}{6}$（a²-a+6）=c，根據(jù)c≤a得$\frac{1}{6}$（a²-a+6）≤a，求得a的范圍是1≤a≤6，再由①②消去c得$\frac{1}{2}$（a²-2a-3）=b，根據(jù)b≤a得$\frac{1}{2}$（a²-2a-3）≤a，求得a的范圍，繼而可得-1≤a≤5，在此范圍內(nèi)分別計(jì)算出a=5、4、3、2、1、0時(shí)的值，結(jié)合三角形三邊間的關(guān)系取舍可得．

解答 解：∵（a²+2b-12c+15）-（a+2b-6c+9）=0，即a²-a+6-6c=0，
∴$\frac{1}{6}$（a²-a+6）=c，
∵c≤a 
∴$\frac{1}{6}$（a²-a+6）≤a，即a²-7a+6≤0，
則（a-1）（a-6）≤0，
∴1≤a≤6，
∵（a²+2b-12c+15）-2（a+2b-6c+9）=0，即a²-2a-3-2b=0，
∴$\frac{1}{2}$（a²-2a-3）=b，
∵b≤a
∴$\frac{1}{2}$（a²-2a-3）≤a，即a²-4a-5≤0，
則（a-5）（a+1）≤0
∴-1≤a≤5，
當(dāng)a=5時(shí)，b=4，c=$\frac{13}{3}$，符合題意；
當(dāng)a=4時(shí)，b=$\frac{5}{2}$，c=3，符合題意；
當(dāng)a=3時(shí)，b=0，舍去；
當(dāng)a=2時(shí)，b=-$\frac{3}{2}$，舍去；
當(dāng)a=1時(shí)，b=-2，舍去；
當(dāng)a=0時(shí)，b=-$\frac{3}{2}$，舍去；
綜上，a=5，b=4，c=$\frac{13}{3}$或a=4，b=$\frac{5}{2}$，c=3．

點(diǎn)評 本題主要考查因式分解的應(yīng)用、一元二次不等式的求解等知識點(diǎn)，根據(jù)題意得出a的范圍是解題的關(guān)鍵．