Question

3．如圖所示扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，D為弧上一動點(diǎn)，過D作DE∥OA交OB于點(diǎn)E．I為△ODE的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動時(shí)，I也隨著運(yùn)動．則經(jīng)過O、I、B三點(diǎn)的弧所在圓的半徑為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接OI、DI、BD，以O(shè)D為弦作圓C，在圓C上取一點(diǎn)F．I是△ODE的內(nèi)心，則三角形I是三角形條角平分線的交點(diǎn)，故此可求得∠OID=135°，∠DOI=∠BOI，于是可證明△△DOI≌△BOI，得到∠OIB=∠OID=135°，故此點(diǎn)I在以O(shè)B為弦且所對的圓周角為135°的一段劣弧上，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠F=45°，由圓周角定理可求得∠OCD=90°，最后利用特殊銳角三角函數(shù)可求得OC=3$\sqrt{2}$．

解答 解：如圖所示：連接OI、DI、BD，以O(shè)D為弦作圓C，在圓C上取一點(diǎn)F．

∵I是△ODE的內(nèi)心，
∴∠IDO=$\frac{1}{2}$∠EDO，∠DOI=$\frac{1}{2}$∠DOB．
∴∠IDO+∠DOI=$\frac{1}{2}$（∠EDO+∠DOB）=$\frac{1}{2}×90°$=45°．
∴∠OID=45°．
∵I是△ODE的內(nèi)心，
∴∠DOI=∠BOI．
在△DOI和△BOI中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOI=∠BOI}\\{OI=OI}\end{array}\right.$，
∴△△DOI≌△BOI．
∴∠OIB=∠OID=135°．
∴點(diǎn)I在以O(shè)B為弦且所對的圓周角為135°的一段劣弧上．
∵四邊形OFDI是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠F+∠OID=180°．
∴∠F=45°．
∴∠OCD=90°．
∵CO=CB，
∴∠COD=45°．
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}×6$=3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是三角形的內(nèi)心、全等三角形的性質(zhì)和判定、特殊銳角三角函數(shù)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，證得點(diǎn)I在以O(shè)B為弦且所對的圓周角為135°的一段劣弧上是解題的關(guān)鍵．