Question

已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，

∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．

（1）如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；

（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；

（3）如圖2，當∠BCE=45°時，求證：BM=ME．

Answer 1

解答：（1）證法一：

如答圖1a，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴點B為線段AD的中點，

又∵點M為線段AF的中點，

∴BM為△ADF的中位線，

∴BM∥CF．^{………………………}(3分）

證法二：

如答圖1b，延長BM交EF于D，

∵∠ABC=∠CEF=90°，

∴AB⊥CE，EF⊥CE，

∴AB∥EF，

∴∠BAM=∠DFM，

∵M是AF的中點，

∴AM=MF，

∵在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，

∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，

∴BE=DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠EBM=45°，

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，

∴∠EBM=∠ECF，

∴MB∥CF；^{………………………}(3分）

（2）如答圖2a所示，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，

∴點B為AD中點，又點M為AF中點，

∴BM=DF．

分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，

∴點E為FG中點，又點M為AF中點，

∴ME=AG．

∵CG=CF=a，CA=CD=a，

∴AG=DF=a，

∴BM=ME=×a=a．^{………………………}(7分）

（3）證法一：

如答圖3a，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴點B為AD中點，又點M為AF中點，∴BM=DF．

延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴點E為FG中點，又點M為AF中點，∴ME=AG．

在△ACG與△DCF中，

，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．^{………………………}(12分）

證法二：

如答圖3b，延長BM交CF于D，連接BE、DE，

∵∠BCE=45°，

∴∠ACD=45°×2+45°=135°

∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，

∴AB∥CF，

∴∠BAM=∠DFM，

∴M是AF的中點，

∴AM=FM，

在△ABM和△FDM中，，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，BM=DM，

∴AB=BC=DF，

∵在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE（SAS），

∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

又∵BM=DM，

∴BM=ME=BD，

故BM=ME．