Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD⊥AC，垂足為D點(diǎn)，直線(xiàn)OD與⊙O相交于E，F兩點(diǎn)，P是⊙O外一點(diǎn)，P在直線(xiàn)OD上，連接PA，PB，PC，且滿(mǎn)足∠PCA＝∠ABC

（1）求證：PA＝PC；

（2）求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；

（3）若BC＝8，，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）DE＝8．

【解析】

（1）根據(jù)垂徑定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分線(xiàn)，可判斷出PA＝PC；

（2）由PC＝PA得出∠PAC＝∠PCA，再判斷出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判斷出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)AB和DF的比設(shè)AB＝3a，DF＝2a，先根據(jù)三角形中位線(xiàn)可得OD＝4，從而得結(jié)論．

（1）證明∵OD⊥AC，

∴AD＝CD，

∴PD是AC的垂直平分線(xiàn)，

∴PA＝PC，

（2）證明：由（1）知：PA＝PC，

∴∠PAC＝∠PCA．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°．

又∵∠PCA＝∠ABC，

∴∠PCA+∠CAB＝90°，

∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，

∴PA是⊙O的切線(xiàn)；

（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，

∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，

∵，

設(shè)AB＝3a，DF＝2a，

∵AB＝EF，

∴DE＝3a﹣2a＝a，

∴OD＝4＝﹣a，

a＝8，

∴DE＝8．