Question

6．如圖①，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=45°，求證：MN=AM+CN．
如圖②，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，點M、N分別在AD、CD上．若∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC，試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想并給予證明．

Answer 1

分析 （1）把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A與點C重合，點M到達點M′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，△ABM和△CBM′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后證明M′、C、N三點共線，再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證．
（2）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A與點C重合，點M到達點M′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，△ABM和△CBM′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后證明M′、C、N三點共線，再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證．

解答 （1）證明：如圖1，把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則△ABM≌△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°，
∴點M′、C、N三點共線，
∵∠MBN=45°=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM′}\\{∠MBN=∠M′BN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，
∴MN=AM+CN；

（2）解：MN=AM+CN．
理由如下：
如圖2，∵BC∥AD，AB=BC=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD=180°，
把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則△ABM≌△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°，
∴點M′、C、N三點共線，
∵∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM′}\\{∠MBN=∠M′BN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，
∴MN=AM+CN．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的兩底角互補，利用旋轉(zhuǎn)變換作輔助線，構(gòu)造出全等三角形，把MN、AM、CN通過等量轉(zhuǎn)化到兩個全等三角形的對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵，本題靈活性較強，對同學(xué)們的能力要求較高．