Question

17．如圖，在Rt△ABC的直角邊AB，斜邊AC上分別找點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE=AF．將△AFE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，EF的中點(diǎn)O恰好落在AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF交BC于D，連接BE．
（1）四邊形BDFE是什么特殊四邊形，說明理由；
（2）是否存在Rt△ABC，使得圖中四邊形BDFE為菱形？若不存在，說明理由；若存在，求出此時(shí)Rt△ABC的面積與△AFE面積的比．

Answer 1

分析 （1）由于AE=AF，且O是EF中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：AO⊥EF，即FO∥BD，從而證得OF是△ABD的中位線，由此可得BD=2OF=EF，那么BD、EF平行且相等，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判斷出四邊形BDFE的形狀．
（2）當(dāng)四邊形BDFE是菱形時(shí)，BD=FD，即AF=2BD，由此可得∠FAO=30°，∠BAC=∠EAF=60°；易證得△FOA∽△ABC，首先求出FO、OA即FO、AB的比例關(guān)系，即可得到△AFO、△ABC的面積比，進(jìn)而可得到△AEF、△ABC的面積比．

解答 解：（1）四邊形BDFE是平行四邊形；理由如下：
∵AE=AF，且O是EF中點(diǎn)，
∴AO⊥EF，即EF∥BD；
∵O是AB中點(diǎn)，
∴OF是△ABD的中位線，即BD=2OF=EF，
∴BD、EF平行且相等，
∴四邊形BDFE是平行四邊形．
（2）若四邊形BDFE是菱形，則DF=BD，即AD=2BD，
∴∠BAD=30°，∠BAC=∠EAF=60°；
∵∠FAO=∠C=30°，∠FOA=∠ABC=90°，
∴△FOA∽△ABC，
在Rt△AOF中，∠FAO=30°，則AO=$\sqrt{3}$OF，即AB=2$\sqrt{3}$OF；
∴S_△ABC=（2$\sqrt{3}$）²S_△FOC=12S_△FOC，
又∵S_△FAE=2S_△FOC，
∴S_△ABC=6S_△FAE．
∴S_△ABC：S_△FAE=6：1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，難度中等．