Question

【題目】已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，E是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且∠CED=30°．

（1）求證：DB=DE．

（2）在圖中過(guò)D作DF⊥BE交BE于F，若CF=3，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）48.

【解析】

試題（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到DB=DE；（2）根據(jù)直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半DC=8，AC=16，即可求得△ABC的周長(zhǎng)．

試題解析：

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線(xiàn)，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∠DBC=30°（等腰三角形三線(xiàn)合一）．

又∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．

又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，

∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．

∴∠DBC=∠DEC．

∴DB=DE（等角對(duì)等邊）；

（2）解： ∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，

∴∠CDF=30°，

∵CF=4，

∴DC=8，

∵AD=CD，

∴AC=16，

∴△ABC的周長(zhǎng)=3AC=48．