Question

【題目】如圖，拋物線l：y= （x﹣h）2﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），將拋物線ι在x軸下方部分沿軸翻折，x軸上方的圖象保持不變，就組成了函數(shù)的圖象．

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
①求拋物線l的表達(dá)式，并直接寫出當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)的值y隨x的增大而增大；
②如圖2，若過A點(diǎn)的直線交函數(shù)的圖象于另外兩點(diǎn)P，Q，且S△ABQ=2S△ABP ， 求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)2＜x＜3時(shí)，若函數(shù)f的值隨x的增大而增大，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①把A（1，0）代入拋物線y= （x﹣h）2﹣2中得：

（x﹣h）2﹣2=0，

解得：h=3或h=﹣1，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴h＞0，

∴h=3，

∴拋物線l的表達(dá)式為：y= （x﹣3）2﹣2，

∴拋物線的對(duì)稱軸是：直線x=3，

由對(duì)稱性得：B（5，0），

由圖象可知：當(dāng)1＜x＜3或x＞5時(shí)，函數(shù)的值y隨x的增大而增大；

②如圖2，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，延長(zhǎng)PD交拋物線l于點(diǎn)F，作QE⊥x軸于E，則PD∥QE，

由對(duì)稱性得：DF=PD，

∵S△ABQ=2S△ABP，

∴ ABQE=2× ABPD，

∴QE=2PD，

∵PD∥QE，

∴△PAD∽△QAE，

∴ ，

∴AE=2AD，

設(shè)AD=a，則OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，﹣[ （1+a﹣3）2﹣2]），

∵點(diǎn)F、Q在拋物線l上，

∴PD=DF=﹣[ （1+a﹣3）2﹣2]，

QE= （1+2a﹣3）2﹣2，

∴ （1+2a﹣3）2﹣2=﹣2[ （1+a﹣3）2﹣2]，

解得：a= 或a=0（舍），

∴P（ ， ）

（2）解：當(dāng)y=0時(shí)， （x﹣h）2﹣2=0，

解得：x=h+2或h﹣2，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且h＞0，

∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），

如圖3，作拋物線的對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)C，

分兩種情況：

①由圖象可知：圖象f在AC段時(shí)，函數(shù)f的值隨x的增大而增大，

則 ，

∴3≤h≤4，

②由圖象可知：圖象f點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，函數(shù)f的值隨x的增大而增大，

即：h+2≤2，

h≤0，

綜上所述，當(dāng)3≤h≤4或h≤0時(shí)，函數(shù)f的值隨x的增大而增大．

【解析】（1）①利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，由對(duì)稱性求點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的值y隨x的增大而增大（即呈上升趨勢(shì)）的x的取值；②如圖2，作輔助線，構(gòu)建對(duì)稱點(diǎn)F和直角角三角形AQE，根據(jù)S△ABQ=2S△ABP，得QE=2PD，證明△PAD∽△QAE，則 ，得AE=2AD，設(shè)AD=a，根據(jù)QE=2FD列方程可求得a的值，并計(jì)算P的坐標(biāo)；（2）先令y=0求拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象中呈上升趨勢(shì)的部分，有兩部分：分別討論，并列不等式或不等式組可得h的取值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�