Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB邊上的一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點E．
（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半徑；
（2）過點E作弦EF⊥AB于M，連接AF，若∠F=2∠B，求證：四邊形ACEF是菱形．

Answer 1

分析 （1）連接OE，設(shè)圓的半徑為r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的長，根據(jù)BC與圓相切，得到OE垂直于BC，進(jìn)而得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩角相等的三角形相似得到三角形BOE與三角形ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；
（2）利用同弧所對的圓周角相等，得到∠AOE=4∠B，進(jìn)而求出∠B與∠F的度數(shù)，根據(jù)EF與AD垂直，得到一對直角相等，確定出∠MEB=∠F=60°，CA與EF平行，進(jìn)而得到CB與AF平行，確定出四邊形ACEF為平行四邊形，再由∠CAB為直角，得到CA為圓的切線，利用切線長定理得到CA=CE，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．

解答 （1）解：連接OE，設(shè)圓O半徑為r，
在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=12，
∵BC與圓O相切，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=∠BAC=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BOE∽△BCA，
∴$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BO}{BC}$，即$\frac{r}{5}$=$\frac{12-r}{13}$，
解得：r=$\frac{10}{3}$；
（2）∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AE}$，∠F=2∠B，
∴∠AOE=2∠F=4∠B，
∵∠AOE=∠OEB+∠B，
∴∠B=30°，∠F=60°，
∵EF⊥AD，
∴∠EMB=∠CAB=90°，
∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，
∴CB∥AF，
∴四邊形ACEF為平行四邊形，
∵∠CAB=90°，OA為半徑，
∴CA為圓O的切線，
∵BC為圓O的切線，
∴CA=CE，
∴平行四邊形ACEF為菱形．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及垂徑定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．