Question

【題目】在Rt△ABC中，BC=4，AC=8，點D為AB的中點，P為AC邊上一動點．△BDP沿著PD所在的直線翻折，點B的對應點為E．

（1）若PD⊥AB，求AP；

（2）若△PDE與△ABC重合部分的面積等于△PAB面積的，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）AP=5；（2）AP=6或2．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，根據(jù)勾股定理可求出AB，從而得到AD、BD的值，易證△ADP∽△ACB，只需運用相似三角形的性質(zhì)就可求出AP的值；

（2）根據(jù)條件可得S△PDF=S△PAB=S△ADP=S△EDP，從而可得AF=PF，EF=DF．而符合條件的位置有兩個（圖3、圖4），需分兩種情況討論：①如圖3，根據(jù)三角形中位線定理可得DF∥BP，則有∠EDP=∠BPD．由折疊可得∠BDP=∠EDP，從而可得∠BDP=∠BPD，即可得到BP=BD=2，在Rt△BCP中運用勾股定理可求出PC，就可得到AP的值；②如圖4，連接AE，由AF=PF，EF=DF可得四邊形AEDP是平行四邊形，則有AP=ED，由折疊可得DE=DB，即可得到AP=DB=2．

解：（1）如圖：∵∠C=90°，BC=4，AC=8，

∴AB=4

∵點D為AB的中點，

∴AD=DB=2

∵PD⊥AB，

∴∠ADP=90°，

∵∠A=∠A，∠ADP=∠C，

∴△ADP∽△ACB，

∴，

∴AP=5；

（2）∵點D是線段AB的中點，

∴S△ADP=S△BDP=S△PAB．

由折疊可得：S△EDP=S△BDP，

∴S△PDF=S△PAB=S△ADP=S△EDP，

∴AF=PF，EF=DF．

①如圖3，

根據(jù)三角形中位線定理可得：DF∥BP，

∴∠EDP=∠BPD．

由折疊可得∠BDP=∠EDP，

∴∠BDP=∠BPD，

∴BP=BD=2，

∴PC=，

∴AP=8﹣2=6；

②如圖4，

連接AE，

∵AF=PF，EF=DF，

∴四邊形AEDP是平行四邊形，

∴AP=ED，

由折疊可得：DE=DB，

∴AP=DB=2．

綜上所述：AP=6或2．