Question

16．在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（m，3），且m＞4，射線OA與反比例函數(shù)$y=\frac{12}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象交于點P，過點A作AB∥x軸，AC∥y軸，分別與該函數(shù)圖象交于點B和點C．
（1）設(shè)點B的坐標為（a，b），則a=4，b=3；
（2）如圖1，連結(jié)BO，當BO=AB時，求點P的坐標；
（3）如圖2，連結(jié)BP、CP，試證明：無論m（m＞4）取何值，都有S_△PAB=S_△PAC．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標為（m，3），AB∥x軸，可求得b的值，又由點B在反比例函數(shù)$y=\frac{12}{x}$的圖象上，繼而求得a的值；
（2）由（1）可求得OB的值，又由BO=AB，即可求得點A的坐標，然后求得直線OA的解析式，再聯(lián)立直線OA與反比例函數(shù)$y=\frac{12}{x}$，即可求得答案；
（3）法一：首先過點P 作PE⊥AB于點E，作PF⊥AC于點F．然后由點A的坐標為（m，3），求得直線OA的解析式，再設(shè)P的坐標為（t，$\frac{12}{t}$），即可用t表示出m，繼而求得△PAB與△PAC的面積，證得結(jié)論；
法二：過點B作BD⊥x軸，交OA于點D，連結(jié)CD．首先證得四邊形ABDC是矩形，繼而證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A的坐標為（m，3），AB∥x軸，
∴b=3，
∵B在反比例函數(shù)$y=\frac{12}{x}$的圖象上，
∴ab=12，
∴a=4；
故答案為：4，3；

（2）由（1），得：B（4，3）．
∴OB=$\sqrt{{3^2}+{4^2}}$=5，
∵AB=OB，
即m-4=5，解得m=9，
∴A（9，3），
設(shè)直線AO的解析式為y=kx（k≠0），
把A（9，3）代入y=kx，
得k=$\frac{1}{3}$，
∴直線AO的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x；
∵點P是雙曲線和直線的交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x\\ y=\frac{12}{x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=-2\end{array}\right.$（不合題意，舍去），
∴P（6，2）．

（3）解法一：如圖2，過點P 作PE⊥AB于點E，作PF⊥AC于點F．
∵A（m，3），
∴直線AO的解析式為：y=$\frac{3}{m}$x，
設(shè)P的坐標為（t，$\frac{12}{t}$），
代入直線OA：y=$\frac{3}{m}$x中，
可得：$m=\frac{t^2}{4}$，
∴A（m，3）、B（4，3）、C（m，$\frac{12}{m}$）、P（t，$\frac{12}{t}$），
∵m＞4，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}AB•PE$=$\frac{1}{2}$（m-4）（$3-\frac{12}{t}$）=$\frac{3}{2}（m-\frac{4m}{t}-4+\frac{16}{t}）=\frac{3}{2}（\frac{t^2}{4}-t-4+\frac{16}{t}）$，
S_△PAC=$\frac{1}{2}AC•PF$=$\frac{1}{2}$（$3-\frac{12}{m}$）（m-t）=$\frac{3}{2}（m-t-4+\frac{4t}{m}）=\frac{3}{2}（\frac{t^2}{4}-t-4+\frac{16}{t}）$，
∴S_△PAB=S_△PAC．

解法二：如圖3，過點B作BD⊥x軸，交OA于點D，連結(jié)CD．
由A（m，3），易得直線OA的解析式為y=$\frac{3}{m}$x，
∵B（4，3），BD⊥x軸，
∴點D的坐標為（4，$\frac{12}{m}$），
∵AC∥y軸，
∴點C的坐標為（m，$\frac{12}{m}$），
∵點D的縱坐標與點C的縱坐標相同，
∴CD∥x軸，
∵AB∥x軸，
∴CD∥AB，
∵AC∥y軸，DB∥y軸，
∴BD∥AC，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∵AB⊥AC，
∴四邊形ABDC是矩形，
∴點B、C到矩形對角線AD的距離相等，
∴△PAB與△PAC是同底等高的兩個三角形，
∴S_△PAB=S_△PAC．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題以及矩形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．