Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，若∠BAC=∠CAM，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l垂直于射線(xiàn)AM，垂足為點(diǎn)D．

（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若直線(xiàn)l與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，⊙O的半徑為3，并且∠CAB=30°．求圖中所示陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）CD與⊙O相切．理由見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OC，如圖，由∠1=∠2，∠2=∠3得∠1=∠3，則可判斷OC∥AD，由于CD⊥AD，所以O(shè)C⊥CD，于是根據(jù)切線(xiàn)的判定定理可得CD為⊙O的切線(xiàn)；

（2）利用三角形外角性質(zhì)可得到∠EOC=60°，而OC⊥CD，則∠OCE=90°，在Rt△OCE中利用∠EOC的正切可計(jì)算出CE=3，然后三角形面積公式和扇形面積公式，利用S陰影部分=S△OOE-S扇形COB進(jìn)行計(jì)算即可．

試題解析：（1）CD與⊙O相切．理由如下：

連結(jié)OC，如圖，

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∵∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥AD，

而CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵∠EOC=∠1+∠2，∠2=30°，

∴∠EOC=60°，

∵OC⊥CD，

∴∠OCE=90°，

在Rt△OCE中，∵tan∠EOC=，

∴CE=3tan60°=3，

∴S陰影部分=S△OOE-S扇形COB

=

=．