Question

19．對x，y定義一種新運算T，規(guī)定：T（x，y）=$\frac{ax+by}{2x+y}$（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）=$\frac{a×0+b×1}{2×0+1}$=b．
（1）已知T（1，-1）=-3，T（3，1）=1，那么a=1，b=4；
（2）若T（x，y）=T（y，x）對任意實數(shù)x，y都成立（這里T（x，y）和T（y，x）均有意義），那么a、b應(yīng)滿足的關(guān)系式是2b-a=0．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用已知新定義化簡，計算即可求出a與b的值；
（2）利用已知T（x，y）=T（y，x），可得$\frac{ax+by}{2x+y}$=$\frac{ay+bx}{2y+x}$，再根據(jù)比例的性質(zhì)得到的新定義確定出a與b滿足的條件即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\frac{a-b}{2-1}$=-3，$\frac{3a+b}{6+1}$=1，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-3}\\{3a+b=7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（2）∵T（x，y）=T（y，x），
∴$\frac{ax+by}{2x+y}$=$\frac{ay+bx}{2y+x}$，
∴（y²-x²）（2b-a）=0，
∵T（x，y）=T（y，x）對任意實數(shù)x，y都成立，
∴a、b應(yīng)滿足的關(guān)系式是2b-a=0．
故答案為：1，4；2b-a=0．

點評 此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握定義新運算的運算法則是解本題的關(guān)鍵．