Question

18．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=4，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合），且始終保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：
（1）△DFE是等腰直角三角形；
（2）四邊形CEDF有可能成為正方形；
（3）四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E的位置的改變而發(fā)生變化；
（4）點(diǎn)C到線段DE的最大距離為$\sqrt{2}$．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 （1）易證△ADF≌△CEF，從而可得FD=FE，∠AFD=∠CFE，即可得到∠DFE=∠AFC=90°，從而可得△DFE是等腰直角三角形．
（2）當(dāng)FD⊥AC時(shí)，易證四邊形CEDF是矩形，由FD=FE可得矩形CEDF是正方形；
（3）由△ADF≌△CEF可得S_△ADF=S_△CEF，從而可得S_{四邊形CEDF}=S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ABC（定值）；
（4）易得當(dāng)DE⊥CF時(shí)，點(diǎn)C到線段DE的距離最大，等于$\frac{1}{2}$CF，只需求出CF，即可解決得到點(diǎn)C到線段DE的最大距離．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=CB=4，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，
∴∠A=∠B=∠ACF=∠BCF=45°．
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠ECF}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF，
∴FD=FE，∠AFD=∠CFE，
∴∠DFE=∠AFC=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．
故（1）正確；
（2）當(dāng)FD⊥AC時(shí)，
∵∠DCE=∠CDF=∠DFE=90°，
∴四邊形CEDF是矩形．
∵FD=FE，
∴矩形CEDF是正方形．
故（2）正確；
（3）∵△ADF≌△CEF，
∴S_△ADF=S_△CEF，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
故（3）錯(cuò)誤；
（4）當(dāng)FD垂直于AC時(shí)，三角形FDE的面積最小，而四邊形CDFE的面積不變，此時(shí)三角形CDE的面積最大，而此時(shí)DE正好是最小值．所以C點(diǎn)到DF的距離最大，此時(shí)點(diǎn)C到線段DE的為$\frac{1}{2}$CF，即$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
故（4）正確．
綜上所述：（1）（2）（4）正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，通過推理論證每個(gè)命題的正誤是解決此類題目的關(guān)鍵．