Question

二次函數(shù)y=ax²-6ax+c（a＞0）的圖像拋物線過點(diǎn)C（0,4），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D。

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，-6），求二次函數(shù)的解析式；
（2）若a=1時(shí)，試判斷拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）如圖所示A、B是⊙P上兩點(diǎn)，AB=8，AP=5。且拋物線過點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),并有AD=BD。設(shè)⊙P上一動(dòng)點(diǎn)E（不與A、B重合），且∠AEB為銳角，若＜a≤1時(shí)，請(qǐng)判斷∠AEB與∠ADB的大小關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

(1) ；（2）當(dāng)0＜a＜0.5時(shí)，∠AEB ＜∠ADB ；當(dāng)a=0.5時(shí)，∠AEB =∠ADB ；當(dāng)0.5＜a≤1時(shí)，∠AEB ＞∠ADB.

試題分析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，可求a、c的值，即可確定函數(shù)解析式；
（2）若 a=1時(shí)，計(jì)算出△的值，即可判斷拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）由二次函數(shù)方程算出對(duì)稱軸為x=3，頂點(diǎn)D為（3，4-9a）。因?yàn)锳D=BD，所以⊿ADB是等腰三角形且對(duì)稱軸垂直平分AB。因?yàn)锳B=8，所以A,B的橫坐標(biāo)分別為-1和7，縱坐標(biāo)同為4+7a，所以⊿ADB的高就是A（或B）與D的縱坐標(biāo)之差16a.因?yàn)椤螦EB為銳角，所以E點(diǎn)在線段AB的下方（在上方則是鈍角），由于弧AB所對(duì)的圓周角都相等，不妨就讓△AEB為一個(gè)等腰三角形，即E的橫坐標(biāo)為3.過E做AB的垂線，必過圓心P，所以△AEB的高為8.
所以，比較16a和8的大小就行。當(dāng)0＜a＜0.5時(shí)，∠AEB ＜∠ADB ；當(dāng)a=0.5時(shí)，∠AEB =∠ADB ；當(dāng)0.5＜a≤1時(shí)，∠AEB ＞∠ADB.
試題解析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，得：
，解得：
所以二次函數(shù)的解析式為：.
（2）當(dāng)a=1時(shí)，；
△=（-6）²-4c=36-4c
（i）當(dāng)36-4c＞0，即c＜9時(shí)，拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)；
（ii）當(dāng)36-4c=0，即c=9時(shí)，拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有1個(gè)；
（iii）36-4c＜0，即c＞9時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；
（3）當(dāng)0＜a＜0.5時(shí)，∠AEB ＜∠ADB ；當(dāng)a=0.5時(shí)，∠AEB =∠ADB ；當(dāng)0.5＜a≤1時(shí)，∠AEB ＞∠ADB.
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.