Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論： ①△AED≌△AEF；
②△ABE∽△ACD；
③BE+DC=DE；
④BE2+DC2=DE2 ．
其中一定正確的是（ ）

A.②④
B.①③
C.①④
D.②③

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵△ADC繞點A順時針旋轉90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，
∴AD=AF，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°﹣∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，
在△AED與△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正確；
∵∠BAE與∠CAD的大小無法確定，
∴△ABE與△ACD是否相似無法確定，故②錯誤；
同理，DE與BE+DC的大小也無法確定，故③錯誤；
∵△AED≌△AEF，
∴ED=FE，∠ACB=∠ABF，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，
∴BE2+BF2=FE2 ， 即BE2+DC2=DE2 ， 故④正確．
故選C．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質和旋轉的性質，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．