Question

【題目】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB＝10，BC＝16，cosB＝，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射線BA交于點(diǎn)G．

（1）當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)

（2）聯(lián)結(jié)AP，當(dāng)AP//CG時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)

（3）當(dāng)△AGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)，求出BH的長(zhǎng)度，得出AH垂直平分BC，由垂直平分線的性質(zhì)得到AB=AC，從而得到CP=AC即可；
（2）首先得出四邊形APCE是菱形，進(jìn)而得出CN的長(zhǎng)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CP，再由勾股定理及垂徑定理求出EF的長(zhǎng)；
（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE＝∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，列出相似比解出AE=6，從而得出EN的值，再由勾股定理即可求出CE的值．

解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，聯(lián)結(jié)AC．

在Rt△AHB中，∠AHB＝90°，

∵AB＝10，

∴BH＝8，AH=

∵BC＝16，

∴AH垂直平分BC，

∴AB＝AC＝10，

∵圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

∴CP＝AC＝10，

（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AD，垂足為M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

AD∥BC，

若AP//CG，

則四邊形APCE為平行四邊形，

∵CE=CP，

∴平行四邊形APCE是菱形，

連接AC，PE交于點(diǎn)N，則AC⊥PE，

∴AN=CN=，

由（1）可知AC=AB=10，CM=AH=6

∴AN=CN=5，∠ABC=∠ACB，

∴CP=CE=，

則EF=2EM=，

∴當(dāng)AP∥CG時(shí)，弦EF的長(zhǎng)為．

（3）∵，

∴∠B﹤45°，

又∵∠BCG﹤90°，

∴∠BGC﹥45°，

又∵∠AEG＝∠BCG≥∠ACB＝∠B，

∴當(dāng)∠AEG＝∠B時(shí)，A、E、G重合，

只能∠AGE＝∠AEG，

∵AD∥BC，

∴△GAE∽△GBC

∴，即，解得

∴EN＝AN－AE＝2，

∴．

∴圓C的半徑長(zhǎng)為