Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)、，點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)且，過點(diǎn)作軸，垂足為，．

（1）求直線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試說明：；

（3）若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在軸上存在另一個(gè)點(diǎn)，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3），，

【解析】

（1）將A、B坐標(biāo)代入可得直線解析式，設(shè)B（1，m），由得1+m2=5，解之可得答案；
（2）利用邊角邊證明△AOD與△OCB全等，從而得到∠OAD=∠COB，根據(jù)∠COB+∠AOB=90°可得∠OAD+∠AOB=90°，從而得到∠AEO=90°，得證；
（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得BM∥AN且BM=AN，令y=2求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得到BM的長度，再分點(diǎn)N在點(diǎn)O的左邊與右邊、點(diǎn)N關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)三種情況討論求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解：（1）把，代入

得解得

∴解析式為

∵，軸

設(shè)

∵，

∴，（負(fù)值舍去）

∴；

（2）∵，，，

∴，

∵

∴

∴

∵

∴

∴∠AEO=90°，

∴；

（3）∵點(diǎn)N在x軸上，O、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴BM∥x軸，且BM=ON，
根據(jù)（1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
∴-x+1=2，
解得x=-2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，2），
∴BM=1-（-2）=1+2=3，
①點(diǎn)N在點(diǎn)O的左邊時(shí)，ON=BM=3，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，0），
②點(diǎn)N在點(diǎn)O的右邊時(shí)，ON=BM=3，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0），
③作N（-3，0）關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)N′，則N′也符合，
點(diǎn)N′的坐標(biāo)是（7，0），
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，0）或（3，0）或（7，0）．