Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B(4，0)，C(0，﹣2)，對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位長度/秒，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位長度/秒，當(dāng)點(diǎn)M、N有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，連接MN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，AMN的面積S最大，并求出S的最大值；

（3）點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在拋物線上，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，S最大值為；（3）存在，P1(﹣3+，0)，P2(﹣3﹣，0)，P3(6，0)，P4(2，0)

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

（2）由拋物線的對(duì)稱性質(zhì)求得A（-2，0），則AB=6；當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BN=2t，則AN=6-2t，過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，構(gòu)造直角三角形，由三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求得最大值；

（3）需要分三種情況討論，用平移的知識(shí)先求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，然后推出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）依題意，將B（4，0），C（0，﹣2），對(duì)稱軸為直線x＝1，代入拋物線解析式，

得，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）∵對(duì)稱軸為直線x＝1，B（4，0）．

∴A（﹣2，0），則AB＝6，

當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BN＝2t，則AN＝6﹣2t，

如圖1，過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D．

∵OA＝OC＝2，

∴△OAC是等腰直角三角形，

∴∠OAC＝45°．

又∵DM⊥OA，

∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，

當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AM＝t，

∴MD2+AD2＝AM2＝t2，

∴DM＝，

∴，

∵，

∴由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，S最大值為；

（3）存在，理由如下：

①當(dāng)四邊形CBQP為平行四邊形時(shí)，CB與PQ平行且相等，

∵B（4，0），C（0，﹣2），

∴yB﹣yC＝yQ﹣yP＝2，xB﹣xC＝xQ﹣xP＝4，

∵yP＝0，

∴yQ＝2，

將y＝2代入，

得 x1＝，x2＝，

∴當(dāng)xQ＝時(shí)，xP＝；當(dāng)xQ＝時(shí)，xP＝，

∴P1（，0），P2（，0）；

②當(dāng)四邊形CQPB為平行四邊形時(shí)，BP與CQ平行且相等，

∵yP＝yB＝0，

∴yQ＝yC＝﹣2，

將y＝﹣2代入，

得 x1＝0（舍去），x2＝2，

∴xQ＝2時(shí)，

∴xP﹣xB＝xQ﹣xC＝2，

∴xP＝6，

∴P3（6，0）；

③當(dāng)四邊形CQBP為平行四邊形時(shí)，BP與CQ平行且相等，

由②知，xQ＝2，

∴xB﹣xP＝xQ﹣xC＝2，

∴xP＝2，

∴P4（2，0）；

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，分別是P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0），P3（6，0），P4（2，0）．