Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∠EDF=90°，DE交AC于點(diǎn)G，DF經(jīng)過點(diǎn)C．

（1）若∠B=60°．

①求∠ADE的度數(shù)；

②如圖2，將圖1中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），旋轉(zhuǎn)過程中的任意兩個(gè)位置分別記為∠E1DF1，∠E2DF2，DE1交直線AC于點(diǎn)P，DF1交直線BC于點(diǎn)Q，DE2交直線AC于點(diǎn)M，DF2交直線BC于點(diǎn)N，求的值；

（2）將（1）問中的“若∠B=60°”改為“∠B=β（60°＜β＜90°）”，其余條件不變，判斷的值是否為定值，如果是，請(qǐng)直接寫出這個(gè)值（用含β的式子表示）；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠ADE=30°；②（2）見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形中的三角函數(shù)解答即可；

（3）由（2）的推理得出，再利用直角三角形的三角函數(shù)解答．

試題解析：（1）①∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=DB，∴∠DCB=∠B，

∵∠B=60°，∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，∴∠CDA=120°，∵∠EDC=90°，

∴∠ADE=30°；

②∵∠C=90°，∠MDN=90°，

∴∠DMC+∠CND=180°，

∵∠DMC+∠PMD=180°，

∴∠CND=∠PMD，

同理∠CPD=∠DQN，

∴△PMD∽△QND，

過點(diǎn)D分別做DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

可知DG，DH分別為△PMD和△QND的高，∴=，∵DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，∴DG∥BC，又∵D為AC中點(diǎn)，∴G為AC中點(diǎn)，∵∠C=90°，∴四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，

Rt△AGD中， =，即=．

（2）是定值，定值為tan（90°﹣β），∵=，四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，

∴Rt△AGD中， =tan∠A=tan（90°﹣∠B）=tan（90°﹣β），∴=tan（90°﹣β）．