Question

10．把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時，點O運動到了點O₁處（即點B處），點C運動到了點C₁處，點B運動到了點B₁處，又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點，按順時針方向旋轉90°…，按上述方法經(jīng)過61次旋轉后，頂點O經(jīng)過的總路程為$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π．

Answer 1

分析 第一次以A為圓心OA為半徑的弧長，旋轉了90°，第二次以B₁為圓心，正方形的對角線為半徑，旋轉角為90°，第三次以B₁為圓心，OA長為半徑，旋轉90°，第四次以O為旋轉中心，此時O點沒有運動，四次后O點又回到初始狀態(tài)的相對位置，四次一循環(huán)，再利用弧長的計算公式分別計算即可．

解答 解：由題意可知每旋轉四次O點經(jīng)過的路程為：$\frac{1}{4}$×2π+$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{2}$π+$\frac{1}{4}$×2π=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，
∵經(jīng)過61次旋轉，頂點O經(jīng)過的路程是4次旋轉路程的15倍加上第1次路線長，
∴經(jīng)過61次旋轉后，頂點O經(jīng)過的總路程=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π×15+$\frac{1}{2}$π=$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π．
故答案為$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π．

點評 本題考查了旋轉變換的性質，正方形的性質以及弧長的計算，讀懂題意，確定出前四次O點經(jīng)過的路線是解題的關鍵，注意規(guī)律的尋找．