Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C.拋物線經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E.求ME長(zhǎng)的最大值；

（3）試探究當(dāng)ME取最大值時(shí)，在拋物線上、x軸下方是否存在點(diǎn)P，使以M，F(xiàn)，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）由求出點(diǎn)A,C的坐標(biāo)，然后帶入，解方程組即可；（2）求出直線BC的解析式是y＝x－3，根據(jù)點(diǎn)M在直線BC 上，設(shè)M（x，x－3），則E（x，x2－2x－3）

，表示出線段ME的長(zhǎng)，用配方法可求出最大值；（3）設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P，使以P，M，F，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后判斷點(diǎn)P是不是在拋物線上即可.

試題解析：解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，－3x－3＝0，x＝－1，∴A（－1, 0）．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－3，∴C（0，－3）．

∵拋物線過(guò)A，C兩點(diǎn)，

拋物線的解析式是y＝x2－2x－3.

當(dāng)y＝0時(shí)， x2－2x－3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3.

∴ B（3, 0）．

（2）由（1）知 B（3, 0） , C（0，－3），

直線BC的解析式是y＝x－3.

設(shè)M（x，x－3）（0≤x≤3），則E（x，x2－2x－3）

∴ME＝（x－3）－（ x2－2x－3）＝－x2＋3x＝－2＋.

∴當(dāng)x＝時(shí)，ME的最大值為.

（3）不存在．由（2）知 ME 取最大值時(shí)，

ME＝， ∴MF＝，BF＝OB－OF＝.

設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P，使以P，M，F，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

則BP∥MF，BF∥PM.∴P1或 P2.

當(dāng)P1時(shí)，由（1）知y＝x2－2x－3＝－3≠－，∴P1不在拋物線上．

當(dāng)P2時(shí)，由（1）知y＝x2－2x－3＝0≠－，

∴P2不在拋物線上．

綜上所述：在拋物線上x軸下方不存在點(diǎn)P，使以P，M，F，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形