Question

【題目】如圖1，對于平面上小于等于90°的∠MON，我們給出如下定義：若點P在∠MON的內部或邊上，作PE⊥OM于點E，PF⊥ON于點F，則將PE+PF稱為點P與∠MON的“點角距”，記作d（∠MON，P）．如圖2，在平面直角坐標系xOy中，x、y正半軸所組成的角為∠xOy．

（1）已知點A（5，0）、點B（3，2），則d（∠xOy，A）= ，d（∠xOy，B）= ．

（2）若點P為∠xOy內部或邊上的動點，且滿足d（∠xOy，P）=5，畫出點P運動所形成的圖形．

（3）如圖3與圖4，在平面直角坐標系xOy中，射線OT的函數(shù)關系式為y=x（x≥0）．

①在圖3中，點C的坐標為（4，1），試求d（∠xOT，C）的值；

②在圖4中，拋物線y=-x2+2x+經過A（5，0）與點D（3，4）兩點，點Q是A，D兩點之間的拋物線上的動點（點Q可與A，D兩點重合），求當d（∠xOT，Q）取最大值時點Q 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）5，5；（2）點P運動所形成的圖形是線段y=5-x（0≤x≤5）．（3）；點Q的坐標為（4，）．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)點A（5，0）到x軸的距離是0，到y(tǒng)軸的距離是5，可得d（∠xOy，A）=0+5=5；然后根據(jù)點B（3，2）到x軸的距離是2，到y(tǒng)軸的距離是3，求出d（∠xOy，B）的值是多少即可．

（2）首先設點P的坐標是（x，y），然后根據(jù)d（∠xOy，P）=5，可得x+y=5，據(jù)此求出點P運動所形成的圖形即可．

（3）①首先作CE⊥OT于點E，CF⊥x軸于點F，延長FC交OT于點H，則CF=1，然后設直線OT對應的函

數(shù)關系式為y=x（x≥0），求出點H的坐標為H（4，），進而求出CH，OH的值各是多少；最后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△HEC∽△HFO，即可判斷出，據(jù)此求出EC的值，即可求出d（∠xOT，C）的值是多少．

②首先作QG⊥OT于點G，QH⊥x軸于點H，交OT于點K，設點Q的坐標為（m，n），其中3≤m≤5，則n

=-m2+2m+，然后判斷出點K的坐標，以及HK，OK的大小，再判斷出Rt△QGK∽Rt△OHK，即可判斷出，據(jù)此求出QG=；最后求出d（∠xOT，Q）的值，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法，求出當d（∠xOT，Q）取最大值時點Q 的坐標即可．

試題解析：（1）∵點A（5，0）到x軸的距離是0，到y(tǒng)軸的距離是5，

∴d（∠xOy，A）=0+5=5，

∵點B（3，2）到x軸的距離是2，到y(tǒng)軸的距離是3，

∴d（∠xOy，B）=2+3=5．

綜上，可得d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．

（2）設點P的坐標是（x，y），

∵d（∠xOy，P）=5，

∴x+y=5，

∴點P運動所形成的圖形是線段y=5-x（0≤x≤5）．

（3）①如圖3，作CE⊥OT于點E，CF⊥x軸于點F，延長FC交OT于點H，則CF=1，

∵直線OT對應的函數(shù)關系式為y=x（x≥0），

∴點H的坐標為H（4，），

∴CH=1=，OH=

∵CE⊥OT，

∴∠OHF+∠HCE=90°，

又∵∠OHF+∠HOF=90°，

∴∠HCE=∠HOF，

在△HEC和△HFO中，

∴△HEC∽△HFO，

∴，

即

∴EC=，

∴d（∠xOT，C）=+1=

②如圖4，作QG⊥OT于點G，QH⊥x軸于點H，交OT于點K，

設點Q的坐標為（m，n），其中3≤m≤5，

則n=-m2+2m+，

∴點K的坐標為（m，m），QK=mn，

∴HK=m，OK=m．

∵Rt△QGK∽Rt△OHK，

∴，

∴QG=，

∴d（∠xOT，Q）=QG+QH

=+n

=m+n

=m+（-m2+2m+）

=-m2+m+1

=（m-4）2+

∵3≤m≤5，

∴當m=4時，d（∠AOB，Q）取得最大值．

此時，點Q的坐標為（4，）．