Question

6．如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得|PA-PC|的值最大？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在點(diǎn)Q，使A，B，C，Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則可知PA=PB，則當(dāng)P、B、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)滿足|PA-PC|最大，利用待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分AB為邊和AB為對(duì)稱線兩種情況，當(dāng)AB為邊時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)可得到CQ=AB，可得到關(guān)于D點(diǎn)的方程，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，則AB的中點(diǎn)也為CQ的中點(diǎn)，則可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²-3x+4；
（2）∵y=-x²-3x+4，
∴對(duì)稱軸為x=-$\frac{3}{2}$，
∵A（-4，0），
∴B（1，0），
∵P在對(duì)稱軸上，
∴PA=PB，
∴|PA-PC|=|PB-PC|≤BC，即當(dāng)P、B、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)|PA-PC|的值最大，
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-4x+4，
令x=-$\frac{3}{2}$可得y=-4×（-$\frac{3}{2}$）+4=10，
∴存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（$-\frac{3}{2}，10$）；
（3）存在點(diǎn)Q，使A，B，C，Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，
理由：①以AB為邊時(shí)，則有CQ∥AB，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，
∵CQ=AB=5，且C（0，4），
∴Q（-5，4）或（5，4），
②以AB為對(duì)角線時(shí)，CQ必過線段AB中點(diǎn)，且被AB平分，即：AB的中點(diǎn)也是CQ的中點(diǎn)，
∵A、B中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，0），且C（0，4），
∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)=2×（-$\frac{3}{2}$）-0=-3，Q點(diǎn)縱坐標(biāo)=0-4=-4，
∴Q（-3，-4），
綜合可知存在滿足條件的點(diǎn)D，坐標(biāo)為（-5，4）或（5，4）或（-3，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中分AB為邊和AB為對(duì)稱線兩種情況分別求解是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．