Question

【題目】已知:如圖， △ABC中，AB=AC,D在AC上,E在BC上，A E,B D交于F,∠AFD=60°，∠FDC+∠FEC=180°.

(1)求證：BE=CD.

(2)如圖2，過點D作DG⊥AF于G，直接寫出AE ，FG, BF的關(guān)系.

(3)如圖3，在(2)的條件下,連接CG,若FG=BF，△AGD的面積等于5，求GC的長度.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）AE－BF=2FG；（3）

【解析】

（1）證明△ABE≌△BCD即可；

（2）利用△ABE≌△BCD，可得AE=BD，由圖可知DF=BD－BF，再利用30°所對的直角邊是斜邊的一半，可得DF=2GF，即可得到AE，FG,BF的關(guān)系；

（3）連接BG，將三角形CBG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，是CB與CA重合，G點落在M處連接GM，先利用條件證出△GCM為等邊三角形，再證出△GAM為等腰直角三角形，利用

△AGD的面積等于5，求出GA2，最后利用勾股定理求出GM即為GC.

解：（1）∵∠FDC+∠FEC=180°，∠FEC+∠AEB=180°

∴∠FDC=∠AEB

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵∠BAE=180°―∠ABC―∠AEB

∠CBD=180°―∠ACB―∠FDC

∴∠BAE=∠CBD

∵∠AFD是△ABF的外角

∴∠AFD=∠BAE＋∠ABF=∠CBD＋∠ABF=∠ABC

∴∠ABC=60°

∴△ABC是等邊三角形

∴AB=BC

在△ABE和△BCD中

∴△ABE≌△BCD（AAS）

∴BE=CD

（2）∵△ABE≌△BCD

∴AE=BD

在Rt△GFD中∵∠GFD=60°

∴∠GDF=30°

∴

∴BD－BF=2FG

∴AE－BF=2FG

（3）連接BG，將三角形CBG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，是CB與CA重合，G點落在M處連接GM.

可得BG=AM，CG=CM，∠GBC=∠MAC，∠GCB=∠MCA

∴∠MCG=∠MCA＋∠ACG=∠GCB＋∠ACG=∠ACB=60°

∴△GCM為等邊三角形

∴CG=CM=GM

∵FG=BF，∠GFD是△FBG的外角

∴∠FBG=∠FGB=∠GFD=30°

又∵∠GDF=30°

∴GB=GD，∠BGD=120°

又∵∠BAD=60°

∴點A在以G為圓心，GB為半徑的圓上

∴GB=GD=GA，△AGD的面積等于5

∴∠GAB=∠GBA=∠FGB=15°，GD·GA=5

∴GA2=10

由（1）中△ABE≌△BCD

∴∠DBC=∠GAB=15°

∴∠GBC=∠FBG＋∠DBC=45°

∴∠CAM=45°

∴∠GAM=90°

∴△GAM為等腰直角三角形，

∴GM=

∴GC=GM=