Question

【題目】如圖，在ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，連接DE、BF、BD．

（1）求證：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，

∵E、F分別為AB、CD的中點，

∴AE=CF．

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS）

（2）解：若AD⊥BD，則四邊形BFDE是菱形．

證明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．

∵E是AB的中點，

∴DE= AB=BE．

∵在ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，

∴EB∥DF且EB=DF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形．

∴四邊形BFDE是菱形

【解析】（1）根據題中已知條件不難得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分別為邊AB、CD的中點，那么AE=CF，這樣就具備了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．（2）直角三角形ADB中，DE是斜邊上的中線，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四邊形BFDE是個菱形．