Question

3．如圖，△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，AD，AG分別是邊BC，EF上的中線，∠1=∠2，連接BE，DG．
（1）求證：△AEF∽△ABC；
（2）求證：△ABE∽△ADG．

Answer 1

分析 （1）由已知角相等，利用等式的性質得到夾角相等，根據兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證；
（2）由（1）得：∠BAC=∠EAF，根據AD、AG分別為中線，利用三線合一及等量代換得到夾角相等，由（1）得△AEF∽△ABC，由相似得比例，變形后，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證．

解答 證明：（1）∵∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠BAC=∠EAF，
∵AB=AC，AE=AF，
∴∠AEF=∠ABC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）由（1）得：∠BAC=∠EAF，
∵AB=AC，AE=AF，且AD、AG分別為中線，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠EAG=$\frac{1}{2}$∠EAF，
∴∠BAD=∠EAG，
∴∠BAE=∠DAG，
由（1）得：△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{AE}{AG}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴△ABE∽△ADG．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．