Question

【題目】如圖，Rt△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，已知：B（0，），點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OA=3，∠BAD=30°，將△AOB沿AB翻折，點(diǎn)O到點(diǎn)C的位置，連接CB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PAB為以∠PBA為直角的直角三角形時(shí)，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q使△PBQ為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣3，0）；（2）；（3）Q的坐標(biāo)為Q1（0，+2），Q2（0，），Q3（0．﹣2），Q4（0，﹣）．

【解析】

（1）根據(jù)已知得出OA、OB的值以及∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而求得∠ADC，即可求得D的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)直角三角形的判定，分兩種情況討論求得；

（3）求得PB的長(zhǎng)，分四種情形討論即可解決問(wèn)題．

解：（1）∵B（0，），

∴OB=．

∵OA=OB，

∴OA=3，

∴AC=3．

∵∠BAD=30°，

∴∠OAC=60°．

∵∠ACD=90°，

∴∠ODB=30°，

∴=，

∴OD=3，

∴D（﹣3，0）；

（2）∵OA=3，OD=3，∴A（3，0），AD=6，

∴AB=2，當(dāng)∠PBA=90°時(shí)．

∵PD=2t，

∴OP=3﹣2t．

∵△OBA∽△OPB，

∴OB2=OPOA，

∴3﹣2t==1，解得t=1，當(dāng)∠APB=90°時(shí)，則P與O重合，

∴t=；

（3）存在．

①當(dāng)BP為腰的等腰三角形．

∵OP=1，∴BP==2，

∴Q1（0，+2），Q3（0．﹣2）；

②當(dāng)PQ2=Q2B時(shí)，設(shè)PQ2=Q2B=a，

在Rt△OPQ2中，12+（﹣x）2=x2，解得x=，

∴Q2（0，）；

③當(dāng)PB=PQ4時(shí)，Q4（0，﹣）

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（0，+2），Q2（0，），Q3（0．﹣2），Q4（0，﹣）．