Question

9．如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)C，AB交⊙O于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，連接CD，DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若BD=4，CD=3，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)BC是⊙O的直徑，得到∠ADC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=EC=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AC⊥OC，推出DE⊥OD，即可得到結(jié)論；
（2）在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OD，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵E為AC的中點(diǎn)，
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，
∴∠3=∠4，
∵AC切⊙O于點(diǎn)C，
∴AC⊥OC，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（2）在Rt△BCD中，
∵BD=4，CD=3，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵∠BCD=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{3}{AC}=\frac{4}{5}$，
∴AC=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．