Question

【題目】如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y= x刻畫．

（1）請(qǐng)用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA，求△POA的面積；
（4）在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）

（2）解：聯(lián)立兩解析式可得： ，

解得： ，或 ．

故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ， ）

（3）解：如圖，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．

S△POA=S△POQ+S梯形PQBA﹣S△BOA

= ×2×4+ ×（ +4）×（ ﹣2）﹣ × ×

=4+ ﹣

=

（4）解：過(guò)P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．

設(shè)直線PM的解析式為y= x+b，

∵P的坐標(biāo)為（2，4），

∴4= ×2+b，解得b=3，

∴直線PM的解析式為y= x+3．

由 ，解得 ， ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）．

【解析】（1）利用配方法可配成頂點(diǎn)式；（2）A點(diǎn)的坐標(biāo)可通過(guò)求拋物線與直線解析式聯(lián)立的方程組的解即可；（3）“斜三角形”面積可通過(guò)作垂線轉(zhuǎn)化為“豎直三角形”的面積和；（4）底邊公用的三角形面積相等可逆向思維，可由“平行線所夾的底邊共用三角形面積相等”得到直線PMOA，求出PM解析式與拋物線的交點(diǎn)，即可求出M坐標(biāo).