Question

【題目】如圖，在中，，兩條高AD，BE交于點P.過點E作，垂足為G，交AD于點F，過點F作，交BC于點H，交BE交于點Q，連接DE.

（1）若，，求DE的長

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）首先證明AE=CE，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理求出AC的長，再運用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)計算即可；

（2）連接DQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進而證明和是等腰直角三角形，再證明和得，故可證為等腰直角三角形，，結(jié)合（1）的結(jié)論易證得．

（1）∵，BE是高，

∴

∵AD是的高，

∴

在中，.

∴.

∴

（2）連接DQ

∵，BE是AC邊上的高，，

∴BE平分，，

∴

∵，∴，

∵AD是BC邊上的高，

∴

∴和是等腰直角三角形.

∴，.∴

∵，，，

∴，，

∴.

∵，，，

∴（AAS）

∴

又∵，，

∴（SAS）

∴，

∵，∴，即

∴為等腰直角三角形

∴

由（1）已證

∴，

∵，

∴