Question

【題目】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了一個(gè)問(wèn)題，希望同學(xué)們進(jìn)行探究．
在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù) 的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù) 的圖象交于C、D兩點(diǎn)，則AD和BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
同學(xué)們通過(guò)合作討論，逐漸完成了對(duì)問(wèn)題的探究．

（1）小勇說(shuō)：我們可以從特殊入手，取 進(jìn)行研究（如圖①），此時(shí)我發(fā)現(xiàn)AD=BC．
小攀說(shuō)：在圖①中，分別從點(diǎn)C、D兩點(diǎn)向兩條坐標(biāo)軸作垂線，根據(jù)所學(xué)知識(shí)可以知道有兩個(gè)圖形的面積是相等的，并能求出確定的值，而且在圖②中，此時(shí) ，這一結(jié)論仍然成立，即 的面積= 的面積，此面積的值為 ．
小高說(shuō)：我還發(fā)現(xiàn)，在圖①或圖②中連接某兩個(gè)已知點(diǎn)，得到的線段與AD和BC都相等，這條線段是 ．
請(qǐng)完成以上填空；
（2）請(qǐng)結(jié)合以上三位同學(xué)的討論，對(duì)圖②所示的情況下，證明AD=BC；
小峰突然提出一個(gè)問(wèn)題：通過(guò)剛才的證明，我們可以知道當(dāng)直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)都在第一象限時(shí)， 總是成立的，但我發(fā)現(xiàn)當(dāng)k的取值不同時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)有可能在不同象限，結(jié)論還成立嗎？
（3）請(qǐng)你結(jié)合小峰提出的問(wèn)題，在圖③中畫(huà)出示意圖，并判斷結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）四邊形OHCF,四邊形OIDG,6,GH
（2）解：成立，

如圖①，連接 ， ， ，

∵點(diǎn) ， 是反比例圖象上的點(diǎn)，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴點(diǎn) ， 到 的距離相等．

∴ ∥ ．

∴四邊形 和四邊形 都是平行四邊形．

∴ ， ．

即 ．

（3）解：畫(huà)出圖形，得到 ，

∵點(diǎn) ， 是反比例圖象上的點(diǎn)，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴點(diǎn) ， 到 的距離相等．

∴ ∥ ．

∴四邊形 和四邊形 都是平行四邊形．

∴ ， ．

即 ．

【解析】（1）利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)k 的幾何意義，矩形面積=可得出答案;（2）利用基本事實(shí)：同底三角形，若面積相等，則第三個(gè)頂點(diǎn)的連線和底邊平行；（3）借鑒（2）的方法可證得結(jié)論仍成立.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的比例系數(shù)k的幾何意義，需要了解幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積才能得出正確答案．