13.如圖1,直線l:y=$\frac{3}{4}$x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,-1),拋物線y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).

分析 1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線解析式求出m的值,再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線求解即可得到n的值,然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;
(2)令y=0求出點(diǎn)A的坐標(biāo),從而得到OA、OB的長度,利用勾股定理列式求出AB的長,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根據(jù)矩形的周長公式表示出p,利用直線和拋物線的解析式表示DE的長,整理即可得到P與t的關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的最值問題解答;
(3)根據(jù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角為90°可得A1O1∥y軸時(shí),B1O1∥x軸,旋轉(zhuǎn)角是180°判斷出A1O1∥x軸時(shí),B1A1∥AB,根據(jù)圖3、圖4兩種情形即可解決.

解答 解:(1)∵直線l:y=$\frac{3}{4}$x+m經(jīng)過點(diǎn)B(0,-1),
∴m=-1,
∴直線l的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-1,
∵直線l:y=$\frac{3}{4}$x-1經(jīng)過點(diǎn)C(4,n),
∴n=$\frac{3}{4}$×4-1=2,
∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(4,2)和點(diǎn)B(0,-1),
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{4}^{2}+4\\;b+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{4}}\\{c=-1}\end{array}\right.$,
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{4}$x-1;

(2)令y=0,則$\frac{3}{4}$x-1=0,
解得x=$\frac{4}{3}$,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為($\frac{4}{3}$,0),
∴OA=$\frac{4}{3}$,
在Rt△OAB中,OB=1,
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{4}{3})^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{5}{3}$,
∵DE∥y軸,
∴∠ABO=∠DEF,
在矩形DFEG中,EF=DE•cos∠DEF=DE•$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$DE,
DF=DE•sin∠DEF=DE•$\frac{OA}{AB}$=$\frac{4}{5}$DE,
∴p=2(DF+EF)=2($\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$)DE=$\frac{14}{5}$DE,
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),
∴D(t,$\frac{1}{2}$t2-$\frac{5}{4}$t-1),E(t,$\frac{3}{4}$t-1),
∴DE=($\frac{3}{4}$t-1)-($\frac{1}{2}$t2-$\frac{5}{4}$t-1)=-$\frac{1}{2}$t2+2t,
∴p=$\frac{14}{5}$×(-$\frac{1}{2}$t2+2t)=-$\frac{7}{5}$t2+$\frac{28}{5}$t,
∵p=-$\frac{7}{5}$(t-2)2+$\frac{28}{5}$,且-$\frac{7}{5}$<0,
∴當(dāng)t=2時(shí),p有最大值$\frac{28}{5}$.

(3)“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)有4個(gè),如圖1,圖2,圖3,圖4所示.


如圖3中,設(shè)A1的橫坐標(biāo)為m,則O1的橫坐標(biāo)為m+$\frac{4}{3}$,
∴$\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{4}$m-1=$\frac{1}{2}$(m+$\frac{4}{3}$)2-$\frac{5}{4}$(m+$\frac{4}{3}$)-1,
解得m=$\frac{7}{12}$,
如圖4中,設(shè)A1的橫坐標(biāo)為m,則B1的橫坐標(biāo)為m+$\frac{4}{3}$,B1的縱坐標(biāo)比例A1的縱坐標(biāo)大1,
∴$\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{4}$m-1+1=$\frac{1}{2}$(m+$\frac{4}{3}$)2-$\frac{5}{4}$(m+$\frac{4}{3}$)-1,
解得m=$\frac{4}{3}$,
∴旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為$\frac{7}{12}$或$\frac{4}{3}$

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,銳角三角函數(shù),長方形的周長公式,以及二次函數(shù)的最值問題,本題難點(diǎn)在于(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是90°判斷出A1O1∥y軸時(shí),B1O1∥x軸,旋轉(zhuǎn)角是180°判斷出A1O1∥x軸時(shí),B1A1∥AB,注意要分情況討論.

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