Question

如圖，已知O是銳角∠XAY的邊AX上的動點，以點O為圓心、R為半徑的圓與射線AY切于點B，交射線OX于點C．連結BC，作CD⊥BC，交AY于點D．

(1)求證：△ABC∽△ACD；

(2)若P是AY上一點，AP＝4，且sinA＝，

①如下圖，當點D與點P重合時，求R的值；

②當點D與點P不重合時，試求PD的長(用R表示)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知，CD⊥BC，∴∠ADC＝90°－∠CBD，(1分) 　　又∵⊙O切AY于點B，∴OB⊥AB，∴∠OBC＝90°－∠CBD，(2分) 　　∴∠ADC＝∠OBC．又在⊙O中，OB＝OC＝R，∴∠OBC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ADC． 　　又∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD．(3分) 　　(2)由已知，sinA＝，又OB＝OC＝R，OB⊥AB， 　　∴在Rt△AOB中，AO＝＝＝R，AB＝＝R， 　　∴AC＝R＋R＝R．(4分) 　　由(1)已證，△ABC∽△ACD，∴，(5分) 　　∴，因此AD＝R．(6分) 　　①當點D與點P重合時，AD＝AP＝4，∴R＝4，∴R＝．(7分) 　　②當點D與點P不重合時，有以下兩種可能： 　�、�)若點D在線段AP上(即0＜R＜)，PD＝AP－AD＝4－R；(8分) 　　ⅱ)若點D在射線PY上(即R＞)，PD＝AD－AP＝R－4．(9分) 　　綜上，當點D在線段AP上(即0＜R＜)時，PD＝4－R；當點D在射線PY上(即R＞)時，PD＝R－4．又當點D與點P重合(即R＝)時，PD＝0，故在題設條件下，總有PD＝|R－4|(R＞0)．