Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延長(zhǎng)BC至D，使得DC=CB，延長(zhǎng)DA與⊙O交于點(diǎn)E，連接AC，CE．
（1）求證：∠D=∠E；
（2）若AB=4，

AC

的長(zhǎng)度為

2

3

π，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算,等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）首先證明AD=AB，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；進(jìn)而得到∠D=∠B；而∠B=∠E，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖，作輔助線；先求出∠AOC=60°，進(jìn)而求出∠B=30°；運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)求出OF、BC的長(zhǎng)，借助扇形的面積公式、直角三角形的面積公式即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵AB是圓O直徑，
∴AC⊥BD；
又∵DC=BC，
∴AC⊥BD，且平分BD，
∴AD=AB，
∴∠D=∠B；
∵∠B=∠E
∴∠D=∠E．
（2）如圖，連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F．
設(shè)∠AOC=α度，由弧長(zhǎng)公式得：

2απ

180

=

2π

3

，
∴α=60，即∠AOC=60°；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，而∠AOC=∠OBC+∠OCB，
∴∠B=30°，AC=

1

2

AB=2；OF=

1

2

OB=1；
∵cos30°=

BC

AB

，
∴BC=2

3

；
S_陰影=S_扇形AOC+S_△BOC
=

1

2

×

2

3

π×2+

1

2

×2

3

×1
=

2π

3

+

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定及其性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、扇形的面積公式等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、解答．