Question

【題目】如圖1和2，在20×20的等距網格（每格的寬和高均是1個單位長）中，Rt△ABC從點A與點M重合的位置開始，以每秒1個單位長的速度先向下平移，當BC邊與網的底部重合時，繼續(xù)同樣的速度向右平移，當點C與點P重合時，Rt△ABC停止移動．設運動時間為x秒，△QAC的面積為y．

（1）如圖1，當Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置時，請你在網格中畫出Rt△A1B1C1關于直線QN成軸對稱的圖形；

（2）如圖2，在Rt△ABC向下平移的過程中，請你求出y與x的函數(shù)關系式，并說明當x分別取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？

（3）在Rt△ABC向右平移的過程中，請你說明當x取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最值分別是多少？為什么？（說明：在（3）中，將視你解答方法的創(chuàng)新程度，給予1～4分的加分）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）y=2x+40（0≤x≤16），當x=0時， y最小=40，當x=16時，y最大=72；（3）當x=32時， y最小=40；當x=16時， y最大=72．

【解析】試題分析：

（1）如圖1，分別作出點A1、B1、C1關于直線QN的對稱點A2、B2、C2，在順次連接這三點即可得到所求三角形；

（2）如圖2，當△ABC以每秒1個單位長的速度向下平移x秒時，則有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，由題意可得：y= S梯形QMBC﹣S△AMQ﹣S△ABC，由此就可得到y與x之間的函數(shù)關系式，結合x的取值范圍是即可求得y的最大值和最小值；

（3）如圖2，可用如下兩種方法解答本問：

方法一：當△ABC繼續(xù)以每秒1個單位長的速度向右平移時，此時16≤x≤32，PB=20﹣（x﹣16）=36﹣x，PC=PB﹣4=32﹣x，由y=S梯形BAQP﹣S△CPQ﹣S△ABC即可列出y與x之間的函數(shù)關系式，結合x的取值范圍即可求得y的最大值和最小值；

方法二：在△ABC自左向右平移的過程中，△QAC在每一時刻的位置都對應著（2）中△QAC某一時刻的位置，使得這樣的兩個三角形關于直線QN成軸對稱．因此，根據(jù)軸對稱的性質，只需考查△ABC在自上向下平移過程中△QAC面積的變化情況，便可以知道△ABC在自左向右平移過程中△QAC面積的變化情況．

試題解析：

（1）如圖1，△A2B2C2是△A1B1C1關于直線QN成軸對稱的圖形

（2）當△ABC以每秒1個單位長的速度向下平移x秒時（如圖2），

則有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，

y=S梯形QMBC﹣S△AMQ﹣S△ABC

=（4+20）（x+4）﹣×20x﹣×4×4

=2x+40（0≤x≤16）．

由一次函數(shù)的性質可知：

當x=0時，y取得最小值，且y最小=40，

當x=16時，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72；

（3）解法一：

當△ABC繼續(xù)以每秒1個單位長的速度向右平移時，

此時16≤x≤32，PB=20﹣（x﹣16）=36﹣x，PC=PB﹣4=32﹣x，

∴y=S梯形BAQP﹣S△CPQ﹣S△ABC=（4+20）（36﹣x）﹣×20×（32﹣x）﹣×4×4

=﹣2x+104（16≤x≤32）．

由一次函數(shù)的性質可知：

當x=32時，y取得最小值，且y最小=﹣2×32+104=40；

當x=16時，y取得最大值，且y最大=﹣2×16+104=72．

解法二：

在△ABC自左向右平移的過程中，

△QAC在每一時刻的位置都對應著（2）中△QAC某一時刻的位置，

使得這樣的兩個三角形關于直線QN成軸對稱．

因此，根據(jù)軸對稱的性質，

只需考查△ABC在自上至下平移過程中△QAC面積的變化情況，

便可以知道△ABC在自左向右平移過程中△QAC面積的變化情況．

當x=16時，y取得最大值，且y最大=72，

當x=32時，y取得最小值，且y最小=40．