Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx-4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（5，6），與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=4OB．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)D在第四象限的拋物線上，若△ABD為直角三角形，求D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可先求得C點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得OB長(zhǎng)，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、B坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式；
（2）由點(diǎn)D在第四象限，當(dāng)△ABD為直角三角形時(shí)有∠DBA=90°或∠BDA=90°，①當(dāng)∠DBA=90°時(shí)，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則可知DE=BE，可得到關(guān)于D點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，②當(dāng)∠BDA=90°時(shí)，過D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，過在作DH∥x軸，交AG于點(diǎn)H，則可得到∠DBF=∠DHA，利用三角形相似可得到關(guān)于D點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=ax²+bx-4中，令x=0可得y=-4，
∴C（0，-4），
∴OC=4，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4=0}\\{25a+5b-4=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-3x-4；
（2）∵點(diǎn)D在第四象限的拋物線上，
∴可設(shè)D（x，x²-3x-4）（x＞0且x²-3x-4＜0），
當(dāng)△ABD為直角三角形時(shí)，則只有∠DBA=90°或∠BDA=90°，
①當(dāng)∠DBA=90°時(shí)，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖1，

∵B（-1，0），A（5，6），
∴直線AB解析式為y=x+1，
∴∠ABO=45°，
∴∠EBD=45°，
∴DE=BE，
∵B（-1，0），D（x，x²-3x-4），
∴BE=x+1，DE=-x²+3x+4，
∴x+1=-x²+3x+4，解得x=-1或x=3，
當(dāng)x=-1時(shí)，B、D重合，舍去，當(dāng)x=3時(shí)，x²-3x-4=-4，
∴D（3，-4）；
②當(dāng)∠BDA=90°時(shí)，過D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，過在作DH∥x軸，交AG于點(diǎn)H，如圖2，

∵∠DBF+∠BDA=∠AGF+∠FAG，
∴∠DBF=∠DHA，
∴△BDF∽△ADH，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DH}{AH}$，即$\frac{-{x}^{2}+3x+4}{x+1}$=$\frac{6-（x+1）}{6-（{x}^{2}-3x-4）}$，解得x=1+2$\sqrt{2}$或x=1-2$\sqrt{2}$（小于0，舍去），此時(shí)x²-3x-4=2-2$\sqrt{2}$，
∴D（1+2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
綜上可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-4）或（1+2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得A點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出D點(diǎn)的位置，得到關(guān)于D點(diǎn)坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，難度適中．