Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx-4（a≠0）經(jīng)過點A（5，6），與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=4OB．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）如果點D在第四象限的拋物線上，若△ABD為直角三角形，求D的坐標．

Answer 1

分析 （1）可先求得C點坐標，則可求得OB長，可求得B點坐標，再把A、B坐標代入可求得拋物線解析式；
（2）由點D在第四象限，當△ABD為直角三角形時有∠DBA=90°或∠BDA=90°，①當∠DBA=90°時，過D作DE⊥x軸于點E，則可知DE=BE，可得到關于D點坐標的方程，可求得D點坐標，②當∠BDA=90°時，過D作DF⊥x軸于點F，過A作AG⊥x軸于點G，過在作DH∥x軸，交AG于點H，則可得到∠DBF=∠DHA，利用三角形相似可得到關于D點坐標的方程，可求得D點坐標．

解答 解：
（1）在y=ax²+bx-4中，令x=0可得y=-4，
∴C（0，-4），
∴OC=4，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
把A、B坐標代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4=0}\\{25a+5b-4=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-3x-4；
（2）∵點D在第四象限的拋物線上，
∴可設D（x，x²-3x-4）（x＞0且x²-3x-4＜0），
當△ABD為直角三角形時，則只有∠DBA=90°或∠BDA=90°，
①當∠DBA=90°時，過D作DE⊥x軸于點E，如圖1，

∵B（-1，0），A（5，6），
∴直線AB解析式為y=x+1，
∴∠ABO=45°，
∴∠EBD=45°，
∴DE=BE，
∵B（-1，0），D（x，x²-3x-4），
∴BE=x+1，DE=-x²+3x+4，
∴x+1=-x²+3x+4，解得x=-1或x=3，
當x=-1時，B、D重合，舍去，當x=3時，x²-3x-4=-4，
∴D（3，-4）；
②當∠BDA=90°時，過D作DF⊥x軸于點F，過A作AG⊥x軸于點G，過在作DH∥x軸，交AG于點H，如圖2，

∵∠DBF+∠BDA=∠AGF+∠FAG，
∴∠DBF=∠DHA，
∴△BDF∽△ADH，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DH}{AH}$，即$\frac{-{x}^{2}+3x+4}{x+1}$=$\frac{6-（x+1）}{6-（{x}^{2}-3x-4）}$，解得x=1+2$\sqrt{2}$或x=1-2$\sqrt{2}$（小于0，舍去），此時x²-3x-4=2-2$\sqrt{2}$，
∴D（1+2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
綜上可知D點坐標為（3，-4）或（1+2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得A點坐標是解題的關鍵，在（2）中確定出D點的位置，得到關于D點坐標的方程是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性很強，難度適中．