Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于， ， 三點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接， ．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．連接．

（）填空： __________， __________．

（）在點(diǎn)， 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 可能是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（）在軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（）如圖②，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，連接，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）不可能是直角三角形．理由見(jiàn)解析；（3）；（4）．

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+3）（x﹣4）．將a=﹣代入可得到拋物線(xiàn)的解析式，從而可確定出b、c的值；（2）連結(jié)QC．先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，則PC=5﹣t，依據(jù)勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下來(lái)，依據(jù)CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)P作DE∥x軸，分別過(guò)點(diǎn)M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分別為D、E，MD交x軸與點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，首先證明△PAG∽△ACO，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的長(zhǎng)，然后再證明△MDP≌PEQ，從而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的長(zhǎng)，從而可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式求解即可；（4）連結(jié)OP，取OP的中點(diǎn)R，連結(jié)RH，NR，延長(zhǎng)NR交線(xiàn)段BC與點(diǎn)Q′．首先依據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得到EH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，則RH=NR，接下來(lái)，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)證明NH是∠QNQ′的平分線(xiàn)，然后求得直線(xiàn)NR和BC的解析式，最后求得直線(xiàn)NR和BC的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

試題解析：

（）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為．

將代入得．

∴， ．

（）在、運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 不可能是直角三角形．

理由如下，連結(jié)．

∵在、運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， ， 為銳角，

∴當(dāng)是直角三角形時(shí)， ．

∵， ， ．

∴， ．

∴．

由勾股定理得： ．

∴， ．

∴．

∴．

解得．

又∵由題可得，

∴不成立．

∴不可能是直角三角形．

（）作平行于， 交于．

于點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使．

作交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．

∵．

∴，

∴．

∴， ．

∵≌．

∴．

∵是等腰直角三角形．

∴≌．

∴．

∴．

∴．

解得．

∵．

∴．

（）如圖所示：連結(jié)，取的中點(diǎn)．

連結(jié)， ．延長(zhǎng)交線(xiàn)段與點(diǎn)．

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

∴， ，

∵， ．

∴點(diǎn)為的中點(diǎn)．

又∵為的中點(diǎn)．

∴．

∴．

∴．

∵．

∴．

∴．即是的平分線(xiàn)．

設(shè)直線(xiàn)的解析式為．把點(diǎn)， ．

代入得： ．

解得： ， ．

∴直線(xiàn)的表示為．

同理可得直線(xiàn)的表達(dá)式為．

設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

．解得： ．

∴直線(xiàn)的表達(dá)式為．

將直線(xiàn)和直線(xiàn)的表達(dá)式聯(lián)立得：

，解得： ， ．

∴．