Question

6．在坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D為此拋物線上位于直線AC上方的一個動點(diǎn)，當(dāng)△DAC的面積最大時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為M，記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G．點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，如果直線MN與圖象G有公共點(diǎn)，請結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出點(diǎn)N縱坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），然后將a=-1代入即可求得拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E．先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x²-2x+3），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），于是得到DE的長（用含x的式子表示，接下來，可得到△ADC的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得三角形的面積最大時，點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2所示：先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，于是可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，可判斷出點(diǎn)M在直線AC上，從而可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)N′與拋物線的頂點(diǎn)重合時，N′的坐標(biāo)為（-1，4），于是可確定出t的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）．
由題意可知：a=-1．
∴拋物線的解析式為y=-1（x+3）（x-1）即y=-x²-2x+3．
（2）如圖所示：過點(diǎn)D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E．

∵當(dāng)x=0時，y=3，
∴C（0，3）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+3．
∵將A（-3，0）代入得：-3k+3=0，解得：k=1，
∴直線AC的解析式為y=x+3．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x²-2x+3），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3）．
∴DE=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x．
∴△ADC的面積=$\frac{1}{2}$DE•OA=$\frac{1}{2}$×3×（-x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時，△ADC的面積有最大值．
∴D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）如圖2所示：

∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）．
∵點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，
∴M（1，4）．
∵將x=1代入直線AC的解析式得y=4，
∴點(diǎn)M在直線AC上．
∵將x=-1代入直線AC的解析式得：y=2，
∴N（-1，2）．
又∵當(dāng)點(diǎn)N′與拋物線的頂點(diǎn)重合時，N′的坐標(biāo)為（-1，4）．
∴當(dāng)2＜t≤4時，直線MN與函數(shù)圖象G有公共點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最值，用函數(shù)x的式子表示出△ACD的面積是解題的關(guān)鍵．