Question

如圖1，直線l：y=-2x+8分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C線段AB上，作CD⊥x軸于D，CD=2OD，點(diǎn)E線段OB上，且AE=BE；
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

 

，

 

）；點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

 

，

 

）；
（2）直線m過點(diǎn)E，且將△AOB分成面積比為1：2的兩部分，求直線m的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，
①當(dāng)PC+PE取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PC+PE的最小值；
②當(dāng)PC-PE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PC-PE的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由CD⊥x軸于D，CD=2OD，設(shè)點(diǎn)C（a，2a）可列式2a=-2a+8，解得a的值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，令y=0，得0=-2x+8，可得點(diǎn)A（4，0），令x=0，得y=8，可得點(diǎn)B（0，8），由點(diǎn)E線段OB上，且AE=BE；設(shè)E（m，0）列出方程，解得m的值，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，
（2）設(shè)直線m的表達(dá)式為y=kx+3，分兩種情況分別求解即可．
（3）①E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′坐標(biāo)為（0，-3），設(shè)直線CE′的表達(dá)式為y=nx-3代入C（2，4）可得直線CE′的表達(dá)式，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，作E′G⊥CD于G，即可求出PC+PE的最小值；
②設(shè)直線CE的表達(dá)式為y=dx+3，與x軸相交為p，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得直線CE的表達(dá)式的表達(dá)式，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，作CR⊥y軸于R，即可得出PC-PE的最大值．

解答：解：（1）由CD⊥x軸于D，CD=2OD，設(shè)點(diǎn)C（a，2a）得2a=-2a+8，解得a=2，所以點(diǎn)C（  2，4  ）；
令y=0，得0=-2x+8，解得x=4，點(diǎn)A（4，0），令x=0，得y=8，所以點(diǎn)B（0，8），
∵點(diǎn)E線段OB上，且AE=BE；
∴設(shè)E（m，0），得（8-m）²=m²+16，解得m=3，
∴E（0，3）．
故答案為：2，4，0，3；
（2）設(shè)直線m的表達(dá)式為y=kx+3，
①如圖1：

當(dāng)S_△BEF=

1

3

S_△AOB時(shí)，

5FH

2

=

1

3

•

4×8

2

，
得FH=

32

15

，x=

32

15

代入y=-2x+8得y=

56

15

，
將點(diǎn)F（

32

15

，

56

15

）代入y=kx+3得k=

15

32

，
所以直線m的表達(dá)式為y=

15

32

x+3；
②如圖2：當(dāng)S△OEN=

1

3

S△AOB時(shí)，

3ON

2

=

1

3

•

4×8

2

，
得ON=

32

9

，將點(diǎn)N（

32

9

，0）代入y=kx+3得k=-

27

32

，
所以直線m的表達(dá)式為y=-

27

32

+3；
（3）①如圖2：

E關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)E′坐標(biāo)為（0，-3），
設(shè)直線CE′的表達(dá)式為y=nx-3代入C（2，4）得n=35，
所以y=35x-3，
將y=0代入y=35x-3得x=

6

7

，
所以P的坐標(biāo)為（

6

7

，0），
作E′G⊥CD于G，則E′G=OD=2，CG=7，
所以PC+PE的最小值=CE′=

22+72

=

53

；
②如圖2：設(shè)直線CE的表達(dá)式為y=dx+3，與x軸相交為p，
代入C（2，4），得4=2d+3，d=

1

2

，
所以y=

1

2

x+3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-6；點(diǎn)P坐標(biāo)為（-6，0），
作CR⊥y軸于R，則CR=OD=2，ER=1，
所以PC-PE的最大值=CE=

22+12

=

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題涉及一次函數(shù)的表達(dá)式，對稱點(diǎn)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想．