Question

13．如果一個自然數(shù)從高位到個位是由一個數(shù)字或幾個數(shù)字重復出現(xiàn)組成，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做循環(huán)數(shù)，重復的一個或幾個數(shù)字稱為“循環(huán)節(jié)”，我們把“循環(huán)節(jié)”的數(shù)字個數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù)．例如：525252，它由“52”依次重復出現(xiàn)組成，所以525252是循環(huán)數(shù)，它是2階6位循環(huán)數(shù)，再如：77，是1階2位循環(huán)數(shù)，135135135是3階9位循環(huán)數(shù)…
（1）請你直接寫出2個2階4位循環(huán)數(shù)，并證明對于任意一個2階4位循環(huán)數(shù)，若交換其循環(huán)節(jié)的數(shù)字所得到的新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除；
（2）已知一個能被9整除的2階4位循環(huán)數(shù)，設循環(huán)節(jié)為ab，求a，b應滿足的關系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)循環(huán)節(jié)”的數(shù)字個數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù)，可得答案；
（2）根據(jù)一個能被9整除的2階4位循環(huán)數(shù)，可得$\frac{2（a+b）}{9}$，根據(jù)不等式的性質，可得答案．

解答 解：（1）1717是2階4位循環(huán)數(shù)，7171是2階4位循環(huán)數(shù)；
證明：設原數(shù)為$\overline{abab}$，新數(shù)為$\overline{baba}$
即原數(shù)1000a+100b+10a+b，新數(shù)是1000b+100a+10b+a，
1000b+100a+10b+a-（1000a+100b+10a+b）
=990b-909a
=909（b-a）
=9×101（b-a），
∵a，b為整數(shù)，
∴b-a也為整數(shù)，
∴新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除；
（2）該2階4位循環(huán)數(shù)為 $\overline{abab}$，
即$\frac{1010a+101b}{9}$
=112a+11b+$\frac{2（a+b）}{9}$，
要使得1010a+101b能被9整除，則需（a+b）能被9整除，
∵0＜a≤9，0＜b≤9，
∴0＜a+b≤18，
∴a，b應滿足的關系是a+b=9或a+b=18．

點評 本題考查了因式分解的應用，理解循環(huán)階的階數(shù)是解題關鍵．