Question

14．如圖，一次函數(shù)y=-2x+4與x軸，y軸分別交于A，B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作Rr△ABC，使AB=AC．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4）；
（2）求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若P（m，3）在第二象限內(nèi)，求當(dāng)△PAB與△ABC面積相等時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0和y=0分別代入y=-2x+4中即可求出A與B的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，利用△ABO≌△CAD，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出AC的解析式．
（3）過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，利用勾股定理即可求出AB=AC=2$\sqrt{5}$，利用S_△APB=S_OAB+S_△OPB-S_△OPA列出方程求出m的值．

解答 解：（1）令x=0代入y=-2x+4中
∴y=4，
∴B（0，4）
令y=0代入y=-2x+4中
∴x=2，
∴A（2，0）
（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠ADC，
在△ABO與△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠DAC}\\{∠BOA=∠CDA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△CAD（AAS）
∴CD=OA=2，AD=OB=4，
∴OD=6，
∴C（6，2）
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴直線AC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-1
（3）過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴PE=3，OE=-m
∵AB=AC=2$\sqrt{5}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=10
∴S_△APB=S_OAB+S_△OPB-S_△OPA
=$\frac{1}{2}$AO•BO+$\frac{1}{2}$OB•OE-$\frac{1}{2}$OA•PE
=1-2m
∴1-2m=10
∴m=-$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出A、B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，本題屬于中等題型．