Question

已知雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側(cè)）是雙曲線y=

k

x

上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點E，交BD于點C．
（1）若點D坐標(biāo)是（-8，0），求A、B兩點坐標(biāo)及k的值．
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B點的橫坐標(biāo)為-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2，得出B點的坐標(biāo)，即可得出A點的坐標(biāo)，再根據(jù)k=xy求出即可；
（2）根據(jù)S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，即可得出k的值，進而得出B，C點的坐標(biāo)，再求出解析式即可．

解答：解：（1）∵D（-8，0），
∴B點的橫坐標(biāo)為-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2．
∴B點坐標(biāo)為（-8，-2）．
∵A、B兩點關(guān)于原點對稱，∴A（8，2）．
∴k=xy=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，
∴mn=k，B（-2m，-

n

2

），C（-2m，-n），E（-m，-n）．
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k=4．
∴k=4．
∵B（-2m，-

n

2

）在雙曲線y=

4

x

與直線y=

1

4

x上
∴

1 4 ×(-2m)=- n 2 (-2m)(- n 2 )=4

得

m1=2 n1=2

m2=-2 n2=-2

（舍去）
∴C（-4，-2），M（2，2）．
設(shè)直線CM的解析式是y=ax+b，把C（-4，-2）和M（2，2）代入得：

-4a+b=-2 2a+b=2.

解得a=b=

2

3

．
∴直線CM的解析式是y=

2

3

x+

2

3

．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點的性質(zhì)，根據(jù)四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關(guān)鍵．