Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合）,過D作DE⊥AB于E.

（1）當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)

①若AC=8，BC=6，求線段AE的長(zhǎng)度；

②在①的條件下,求△ADB的面積；

（2）延長(zhǎng)BC、ED相交于點(diǎn)F,若CD=CB,∠CDF=60°，求∠DBE的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）① 4；②15；（2）15°.

【解析】試題分析:(1) ①先根據(jù)勾股定理求出AB,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證得:CD=DE,利用HL判定Rt△DCB≌Rt△DEB,所以CB=EB=6,然后根據(jù)線段和差關(guān)系計(jì)算AE的長(zhǎng)度,

②設(shè)DC=x,則DE= x ,AD=8－x,在Rt△ADE中,利用勾股定理列方程,求出x,可得DE,然后利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算求△ADB的面積,

(2)根據(jù)∠CDF=60°,可得∠ADE=60°,因?yàn)?/span>DE⊥AB,所以∠DAE=90°－60°=30°,

所以∠ABC=90°－30°=60°,根據(jù)角的和差關(guān)系可求得∠DBE的度數(shù).

試題解析:(1) ①在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,由勾股定理可得:

AB=,

因?yàn)?/span>BD平分∠ABC, ∠ACB=90°,DE⊥AB,

所以DC=DE,

在Rt△DCB和Rt△DEB中,

,

所以Rt△DCB≌Rt△DEB,

所以EB=CB=6,

所以AE=AB－EB=10-6=4,

②設(shè)DC=x,則DE= x ,AD=8－x,

在Rt△ADE中,由勾股定理可得:

,即,

解得x=3,即DE=3,

所以.

(2)因?yàn)椤?/span>CDF=60°,

所以∠ADE=60°,

因?yàn)?/span>DE⊥AB,

所以∠DAE=90°－60°=30°,

所以∠ABC=90°－30°=60°,

又因?yàn)?/span>DC=BC,∠BCD=90°,

所以∠CBD=45°,

所以∠DBE=∠ABC－∠CBD=60°－45°=15°.